Математика

Здесь можно обсудить погоду, спорт...
Mostovik
Gold Dragon
Победитель Итогового турнира по RTA 2015
Сообщения: 2219
Зарегистрирован: 21 фев 2010, 14:52
Контактная информация:

26 апр 2011, 13:17Сообщение

4. Одинаково
9. козу туда, один обратно - волка туда, с козой обратно - капусту туда, один обратно - козу туда
10. на 998 день
17. 160 км. До столкновения велосипедистов проходит 40/(15+10)=1.6 часа. Всё это время муха в пути. 100км/ч*1.6ч=160км
19. сначала под углом 60 градусов к потолку(или стене), потом в конечную точку
А на предыдущей странице вроде как решены все задачи :(

Chameleon
Azure Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 6063
Зарегистрирован: 22 дек 2002, 13:40
Откуда: Петрозаводск
Контактная информация:

26 апр 2011, 21:44Сообщение

Mostovik писал(а):19. сначала под углом 60 градусов к потолку(или стене), потом в конечную точку
Здесь ошибка, остальные решены верно.
А на предыдущей странице вроде как решены все задачи :(
Не решена задача №5 про бабушек идущих навстречу друг другу. А с той (39-й) страницы нет ответов на две последние задачи Horn'a.
CMEPTb, Little Angel of Death
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана

Mostovik
Gold Dragon
Победитель Итогового турнира по RTA 2015
Сообщения: 2219
Зарегистрирован: 21 фев 2010, 14:52
Контактная информация:

26 апр 2011, 22:09Сообщение

Chameleon писал(а):
Mostovik писал(а):19. сначала под углом 60 градусов к потолку(или стене), потом в конечную точку
Здесь ошибка, остальные решены верно.
Ну т.е. не 60 градусов, а через середину низа дальней стены, это почти 60... (это если нарисовать развертку и соединить 2 точки прямой) тоже нет? тогда я не знаю :(
Chameleon писал(а):
Mostovik писал(а):А на предыдущей странице вроде как решены все задачи :(
Не решена задача №5 про бабушек идущих навстречу друг другу. А с той (39-й) страницы нет ответов на две последние задачи Horn'a.
Спасибо, посмотрю :)

Chameleon
Azure Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 6063
Зарегистрирован: 22 дек 2002, 13:40
Откуда: Петрозаводск
Контактная информация:

29 апр 2011, 22:35Сообщение

Mostovik писал(а):если нарисовать развертку и соединить 2 точки прямой
Теперь верно, суть в том, что надо просто развернуть в плоскость и соединить прямой линией. Потому к градусам не стоит привязываться...
CMEPTb, Little Angel of Death
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана

Аватара пользователя
Shnurov
Crystal Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 1529
Зарегистрирован: 31 янв 2003, 16:36
Откуда: Москва
Контактная информация:

1 май 2011, 09:37Сообщение

Chameleon писал(а):
Mostovik писал(а):если нарисовать развертку и соединить 2 точки прямой
Теперь верно, суть в том, что надо просто развернуть в плоскость и соединить прямой линией. Потому к градусам не стоит привязываться...
Насколько я помню поинтересней выглядит аналогичная задачка про цилиндр.
А я вот день рожденья не буду справлять.....

Chameleon
Azure Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 6063
Зарегистрирован: 22 дек 2002, 13:40
Откуда: Петрозаводск
Контактная информация:

10 май 2011, 23:24Сообщение

Вот вроде бы алгебра, но в юмор как-то постеснялся :)
CMEPTb, Little Angel of Death
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана

Аватара пользователя
Alan Prost
Fairy Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 794
Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
Откуда: Russia, Krasnodar
Контактная информация:

27 июл 2011, 10:57Сообщение

Приветик всем кого знаю и помню :lol:
Приветик всем кого знаю, но не помню :cry:
Ну и, очевидно, приветик всем кого не знаю!

Возникла у меня одна математическая проблемка. Сам я в математике не силен. Куда бедному крестьянину податься? Понятно, что к тем, кто силен в математике и, может быть, ещё помнит Алана.

Нужно доказать (или показать), что в подмножестве натуральных чисел вида 9, 99, 999, ....., 99999999...9 (или 10^n - 1, где n - натуральное чило) рано или поздно появится член кратный любому простому числу (кроме 2 и 5) и комбинации любых простых чисел вида P1^n * P2^m * ..... PK^k , где P1,P2, .... PK - простые числа, а n, m, ...., k - натуральные.

Звиняйте батьку, если это примитив из серии "5-й класс, 2-я четверть". Да, собственно, я и предупредил, что не обучен математике на систематической основе.

Одна просьбочка. Постарайтесь доказать (или показать) попроще, "на пальцах". Без всяких там проективных плоскостей или арбузов "о 2004 корочках". В общем без "бутылок Клейна". Чтобы я смог понять без этой самой бутылки (Клейна, очевидно).

Да, и ещё. Это не загадка и не задачка. Тут нет подвоха. Мне реально нужно в этом разобраться.

Заранее благодарен!
Не уверен - не обгоняй:)

Аватара пользователя
Alan Prost
Fairy Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 794
Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
Откуда: Russia, Krasnodar
Контактная информация:

27 июл 2011, 12:49Сообщение

Chameleon писал(а):Для поддержания темы выкладываю понравившиеся мне задачи из сборник задач Арнольда для детей от 5 до 15 лет:


11. Охотник прошел от своей палатки 10 км на юг, повернул на восток, прошел прямо на восток еще 10 км, убил медведя, повернул на север и, пройдя еще 10 км, оказался у палатки. Какого цвета был медведь и где это все было?
Вау! Моя любимая задачка :!: Я её всегда задаю школьникам, когда рассказываю о квантовом характере нахождения электрона в силовом поле ядра атома.

Один ответ, про Северный полюс и белого медведя прозвучал. Но он не полный.

Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
Не уверен - не обгоняй:)

Аватара пользователя
Shnurov
Crystal Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 1529
Зарегистрирован: 31 янв 2003, 16:36
Откуда: Москва
Контактная информация:

27 июл 2011, 15:51Сообщение

Alan Prost писал(а): Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
Вопрос где у охотника "юг", "восток", "север", когда он, например, находится на Южном полюсе? :roll:


ЗЫ. Алан, рад видеть на форуме :)
А я вот день рожденья не буду справлять.....

Chameleon
Azure Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 6063
Зарегистрирован: 22 дек 2002, 13:40
Откуда: Петрозаводск
Контактная информация:

28 июл 2011, 00:01Сообщение

Alan Prost писал(а):Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
Хе-хе, если у охотника очень большая палатка, то где угодно :)
Еще решение если ландшафт весьма крут, то тоже можно.
Ну а есть еще действительно верное решение, но открывать не буду дабы не портить процесс другим :)
Shnurov писал(а):Вопрос где у охотника "юг", "восток", "север", когда он, например, находится на Южном полюсе? :roll:
Куда не пойди с Южного полюса - пойдешь на север...
CMEPTb, Little Angel of Death
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана

Аватара пользователя
Alan Prost
Fairy Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 794
Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
Откуда: Russia, Krasnodar
Контактная информация:

28 июл 2011, 12:44Сообщение

Chameleon писал(а):
Ну а есть еще действительно верное решение, но открывать не буду дабы не портить процесс другим :)
Привет СМЕРТЬ! :lol: Рад тебя читать в полном здравии (глагол "видеть" тут не канает).
Что касается охотника и не убитого медведя (как вовремя мы его вывели из условия задачи!) я согласен - пусть другие попарятся :D .
Но есть и другая задачка, которую я сформулировал постом выше. Так что если знаешь верное решение - не томи, выкладывай :lol:
Ежели честно, то я на тебя сильно рассчитываю в этой задаче. Если я её сформулировал тупо, попробую уточнить и пояснить зачем мне это нужно. Может ты её при этом переформулируешь на более понятном и строгом математическом языке, в котором я не силен.
Итак:
1. Подозреваю, что эта теоремка из разряда базовых и элементарных в арифметике и теории чисел. Но она как-то прошла мимо меня и теперь я пытаюсь её "догнать".
2. Пришел я к ней от "сильных и убедительных" утверждений о том, что любая рациональная дробь со знаменателем отличным от вида 2^n * 5^m представляется в виде периодической десятичной дроби и наоборот, если число представляется в виде периодической дес. дроби то оно рационально. Доказательств в тех популярных источниках (Википедия, справочники, какие-то учебники) я не находил, поэтому пришел к выводу, что доказательства элементарны.
3. Не желая показаться тупым (очень плохое качество!) стал по своему, по рабоче-крестьянски, докапываться до доказательства. Тем более, что мне это понадобилось для объяснения тем, кого обучаю. Хотя преподаю химию, но базовые вещи из других естественных наук и математики, не то, чтобы требую, но добиваюсь, чтобы народ понимал. Собственно поэтому мне нужны объяснения - простые, популярные и рассчитанные не на людей с углубленными знаниями математики.
Воот.
Собственно поэтому к своим и обращаюсь. Даже если засмеёте будет не так больно :wink:

Попробую обосновать как я дошел до формулировки, что мне нужно, чтобы натуральное число, записанное в десятеричной позиционной системе из последовательности девяток, рано или поздно делилось на любое простое число. Блин, опять непонятно сформулировал :( . Вторая попытка.
Пусть имеется любое наперед заданное простое число. Существует число вида 999999....999 кратное этому числу. Пусть имеется несколько наперед заданных простых чисел. Найдется число из последовательности девяток кратное произведению этих простых чисел. (если простые числа одни и те же, то, понятно, кратное степени простого числа)

Ход рабоче-крестьянских рассуждений.
Рассмотрим для простоты рациональное число 1/n, где n - натуральное. (к множеству всех рациональных придем тупым умножением на любое целое m). Если n вида 2^l * 5^m, то обратное ему число отображается в виде конечной десятичной дроби, это даже химику понятно (в смысле, даже химик может это доказать). Пусть n > 2, простое и не равное 5 и отображается в виде периодической дроби (больше не буду уточнять, что десятичной, пока мы беседуем только о них, о десятичных) с трехзначным периодом. Как там у вас у математиков это кличут? Длина или ширина периода? Ну не суть. Тогда мы можем рассматривать такую запись как бесконечный сходящийся ряд, да не просто ряд, а геометрическую прогрессию со знаменателем q = 10^(-3):
0,abcabc(abc) = abc*10^(-3) + abc*10^(-3)*10^(-3) + ... + abc*10^(-3k)*10^(-3) + .... = abc*10^(-3)(1+q+q^2+....+q^k+....)

(1+q+q^2+....+q^k+....) = 1/(1-q)

при q = 10^(-3) 1-q = (10^3 - 1)/10^3
при q = 10^(-h) 1-q = (10^h - 1)/10^h -> h - высота :P (ни нашим ни вашим, я решил назвать это высотой периода) периода, количество знаков в периоде.

10^h - 1 - это последовательность девяток, это понятно.
При умножении n на обратное число мы получим единицу, а это означает, что abc...fg (всего h знаков) умноженное на n с точностью до копейки равно 10^h - 1 или "аш девяток". Или "аш девяток" кратны n.
Утверждение, что рациональное число записывается в виде периодической десятичной дроби (конечной высоты h) эквивалентно утверждению, что всегда найдется число в виде последовательности девяток, кратное n.

Разведка боем:

9 кратно 3 и 3*3. Это означает, что для любого натурального n вида 2^k*5^l*3 или 2^k*5^l*3^2 запись его обратного числа в виде десятичной дроби будет иметь период, состоящий из одной цифры (высота периода в определении этого поста равна 1). множители 2 и 5 на высоту периода не влияют и определяют только предпериод (не знаю как правильно эта хренька называется у математиков)

Проверяем. n=6 = 2*3 ;
От двоек и пятерок в знаменателе я избавляюсь так. Умножаю на 10^max(k,l) число представленное в виде дроби. У нас k=1, l=0, значит умножаю просто на 10.
10/6 = 5/3 = 1,(6)
а теперь делю на 10, только делю уже представленное в виде десятичной дроби, то есть просто переношу запятую. Тогда
1/6 = 0,1(6). То есть в ходе разведки мы установили, что двойки и пятерки на высоту периода не влияют, только на предпериод.

99 кратно 3^2*11
Вау, нашли ещё одно простое число, кроме тройки. Это что? Числа обратные 11, 33, 99, а также 22, 55, 110 и т.п. имеют высоту периода равную 2?

1/11 = 0,(09)
1/99 = 0,(01)
1/55 = 0,0(18)

999 = 3^2*111 = 3^3*37
11 потеряли, зато нашли ещё одну тройку и 37.

1/37 = 0,(027)
1/27 = 0,(037) красивая парочка, не правда ли?
Хотя "симметрия = красота", - дело вкуса 8)

Блин, ну когда же доберемся до семёрки?

ага, вот -> 999 999 = 999*1001 = 3^3*37*7*11*13

Ну теперь понятно, почему 1/7 имеет 6 знаков в периоде, раньше в множестве 9,99,999,9999,99999 семерка в качестве множителя не попадалась.

Так, конечно, можно поразведовать достаточно далеко и найти кучу простых делителей, которые не попадались раньше. Но меня интересует общее доказательство. Что рано или поздно я обнаружу наверняка простой делитель а, но в последовательности девяток, в которой есть множитель а может не оказаться простого множителя b. Но мне доподлинно известно, что число, обратное a*b, представимо в виде десятичной периодической дроби. Не беда, значит я потом найду последовательность девяток, кратную a*b. И т. д.


Мне понятно, что в последовательности натуральных чисел (обычная арифметическая прогрессия с разностью = 1) мы обязательно найдем число кратное любому наперед заданному. Если память не спит с кем то другим (в смысле не изменяет), вариант формулировки "основной теоремы арифметики" так и гласит, что "среди n последовательных натуральных чисел найдется ровно одно кратное n". Я даже, наверное, смогу это доказать. Не пробовал, но думаю смогу. Во всяком случае вижу логику и план доказательства. А в случае последовательности 9999...999 - торможу.

Рассматривал похожие последовательности, которые можно получить из множества девяток, а именно:

1, 11, 111, 1111, ......, 111111...111
1, 11, 101, 1001, 10001,......,100000....001 - когда число девяток четно.

Даже думаю, что это более базовые последовательности. Девятка это так, частный случай для десятеричной системы. Если рассматривать более общий случай для любой позиционной системы, то с этими последовательностями и нужно работать. Но.... блин. И тут пока ничего не увидел. Проблески возникают, начинаю проверять и убеждаюсь: "А нет, почудилось.." :( ](*,)

Даже подозреваю, что в двоичной системе это доказать будет легче (может даже можно свести к "основной теореме арифметики"). Но увы. Тут я вообще утону. Если в десятеричной могу хотя бы держаться на воде, то в других системах не "налетал даже 1 часа".

Вот примерно так :lol:
Не уверен - не обгоняй:)

Spartak2007
Champion
Silver Lightning по HoMM5
Сообщения: 218
Зарегистрирован: 29 июн 2008, 09:40
Откуда: Лангепас
Контактная информация:

28 июл 2011, 20:59Сообщение

Alan Prost писал(а):Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
Точка находится примерно на 11,592 км. (точнее расстояние укажут более маститые математики, заходящие на данный форум) к северу от южного полюса. То есть, из палатки идем на юг 10км., после чего, идя на восток, совершаем мини кругосветное путешествие и оказываемся на той же самой точке, из которой поворачивали на восток, после чего идем снова 10км. на север в палатку.

P.S. Но все ответы на эту задачу верны при допущении, что магнитные и географические магнитные полюса совпадают. В противном случае, ответы могут быть иными, ведь не известно чем пользовался охотник: компасом или ориентировался по звездам :) .
Особенно расчет может быть затруднен в ситуации с южным полюсом. эллипсоид (геоид) все таки :) .

Аватара пользователя
Alan Prost
Fairy Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 794
Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
Откуда: Russia, Krasnodar
Контактная информация:

29 июл 2011, 08:50Сообщение

Spartak2007 писал(а):
Точка находится примерно на 11,592 км. (точнее расстояние укажут более маститые математики, заходящие на данный форум) к северу от южного полюса. То есть, из палатки идем на юг 10км., после чего, идя на восток, совершаем мини кругосветное путешествие и оказываемся на той же самой точке, из которой поворачивали на восток, после чего идем снова 10км. на север в палатку.

P.S. Но все ответы на эту задачу верны при допущении, что магнитные и географические магнитные полюса совпадают. В противном случае, ответы могут быть иными, ведь не известно чем пользовался охотник: компасом или ориентировался по звездам :) .
Особенно расчет может быть затруднен в ситуации с южным полюсом. эллипсоид (геоид) все таки :) .
Всё так, всё верно. Но..... Это не полное решение (я про "примерно 11,593 км). И даже не потому, что это не точка, а точки. Пусть всё семейство этих точек и будет твоим решением. Но вот вопрос - а есть ли ещё другие точки на этой грешной Земле, отвечающие тем же условиям?
Насчет расхождения полюсов и несферичности формы ты прав. А вот за "примерно 11,593 км" тебе достанется от Хамелеона :lol:. Он уже объяснял в этой ветке форума (каких-то примерно 247,5 постов назад) правила округления. Точность результата не должна быть выше точности исходных данных. У нас это 10 км, т.е. 2 значащие цифры или, что то же самое, 10 +/- 0,5 км.

Кстати, данная задача интересна ещё и другим. В изначальной её редакции, когда медведь был на месте. Оказывается, что исходных данных достаточно, чтобы выяснить национальность охотника :) .
Так кто же он по национальности?
Не уверен - не обгоняй:)

Spartak2007
Champion
Silver Lightning по HoMM5
Сообщения: 218
Зарегистрирован: 29 июн 2008, 09:40
Откуда: Лангепас
Контактная информация:

29 июл 2011, 16:19Сообщение

Alan Prost писал(а): Но вот вопрос - а есть ли ещё другие точки на этой грешной Земле, отвечающие тем же условиям?
В теории таких множеств точек (образующих параллель) бесконечно много и они находятся на расстоянии от 10км. до 11,593 км. от южного полюса. Все сводится к топтанию вокруг южного полюса, то есть, повернув на восток и пройдя 10км. можно сделать не одно кругосветное путешествие, а два, три и т.д.
В реальности все упирается в размер обуви охотника.
Alan Prost писал(а): Кстати, данная задача интересна ещё и другим. В изначальной её редакции, когда медведь был на месте. Оказывается, что исходных данных достаточно, чтобы выяснить национальность охотника :) .
Так кто же он по национальности?
А вот с национальностью не понял. На этот вопрос действительно есть единственно верный ответ, или ответ носит предположительный характер?

Аватара пользователя
Alan Prost
Fairy Dragon
Почетный член КС — Honored Member
Почетный член КС — Honored Member
Сообщения: 794
Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
Откуда: Russia, Krasnodar
Контактная информация:

29 июл 2011, 16:32Сообщение

Spartak2007 писал(а): А вот с национальностью не понял. На этот вопрос действительно есть единственно верный ответ, или ответ носит предположительный характер?
На этот вопрос есть единственно верный ответ :lol: Правда это из гуманитарной области. А у них, у гуманитариев, как? Надо процитировать источник, где об этом говорилось ранее. А лучше - несколько источников разных авторов. И т.п.
Но я так всё решение раскрою. Так не честно.

Вот. А я за Спартак болею с 1974 года :wink:

А за решение задачки - респект!
Не уверен - не обгоняй:)

Ответить