Математика
-
-
- Победитель Итогового турнира по RTA 2015
- Сообщения: 2219
- Зарегистрирован: 21 фев 2010, 14:52
- Контактная информация:
4. Одинаково
9. козу туда, один обратно - волка туда, с козой обратно - капусту туда, один обратно - козу туда
10. на 998 день
17. 160 км. До столкновения велосипедистов проходит 40/(15+10)=1.6 часа. Всё это время муха в пути. 100км/ч*1.6ч=160км
19. сначала под углом 60 градусов к потолку(или стене), потом в конечную точку
А на предыдущей странице вроде как решены все задачи
9. козу туда, один обратно - волка туда, с козой обратно - капусту туда, один обратно - козу туда
10. на 998 день
17. 160 км. До столкновения велосипедистов проходит 40/(15+10)=1.6 часа. Всё это время муха в пути. 100км/ч*1.6ч=160км
19. сначала под углом 60 градусов к потолку(или стене), потом в конечную точку
А на предыдущей странице вроде как решены все задачи
-
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 6063
- Зарегистрирован: 22 дек 2002, 13:40
- Откуда: Петрозаводск
- Контактная информация:
Здесь ошибка, остальные решены верно.Mostovik писал(а):19. сначала под углом 60 градусов к потолку(или стене), потом в конечную точку
Не решена задача №5 про бабушек идущих навстречу друг другу. А с той (39-й) страницы нет ответов на две последние задачи Horn'a.А на предыдущей странице вроде как решены все задачи
CMEPTb, Little Angel of Death
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана
-
-
- Победитель Итогового турнира по RTA 2015
- Сообщения: 2219
- Зарегистрирован: 21 фев 2010, 14:52
- Контактная информация:
Ну т.е. не 60 градусов, а через середину низа дальней стены, это почти 60... (это если нарисовать развертку и соединить 2 точки прямой) тоже нет? тогда я не знаюChameleon писал(а):Здесь ошибка, остальные решены верно.Mostovik писал(а):19. сначала под углом 60 градусов к потолку(или стене), потом в конечную точку
Спасибо, посмотрюChameleon писал(а):Не решена задача №5 про бабушек идущих навстречу друг другу. А с той (39-й) страницы нет ответов на две последние задачи Horn'a.Mostovik писал(а):А на предыдущей странице вроде как решены все задачи
-
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 6063
- Зарегистрирован: 22 дек 2002, 13:40
- Откуда: Петрозаводск
- Контактная информация:
Теперь верно, суть в том, что надо просто развернуть в плоскость и соединить прямой линией. Потому к градусам не стоит привязываться...Mostovik писал(а):если нарисовать развертку и соединить 2 точки прямой
CMEPTb, Little Angel of Death
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана
- Shnurov
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 1529
- Зарегистрирован: 31 янв 2003, 16:36
- Откуда: Москва
- Контактная информация:
Насколько я помню поинтересней выглядит аналогичная задачка про цилиндр.Chameleon писал(а):Теперь верно, суть в том, что надо просто развернуть в плоскость и соединить прямой линией. Потому к градусам не стоит привязываться...Mostovik писал(а):если нарисовать развертку и соединить 2 точки прямой
А я вот день рожденья не буду справлять.....
- Alan Prost
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 794
- Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
- Откуда: Russia, Krasnodar
- Контактная информация:
Приветик всем кого знаю и помню
Приветик всем кого знаю, но не помню
Ну и, очевидно, приветик всем кого не знаю!
Возникла у меня одна математическая проблемка. Сам я в математике не силен. Куда бедному крестьянину податься? Понятно, что к тем, кто силен в математике и, может быть, ещё помнит Алана.
Нужно доказать (или показать), что в подмножестве натуральных чисел вида 9, 99, 999, ....., 99999999...9 (или 10^n - 1, где n - натуральное чило) рано или поздно появится член кратный любому простому числу (кроме 2 и 5) и комбинации любых простых чисел вида P1^n * P2^m * ..... PK^k , где P1,P2, .... PK - простые числа, а n, m, ...., k - натуральные.
Звиняйте батьку, если это примитив из серии "5-й класс, 2-я четверть". Да, собственно, я и предупредил, что не обучен математике на систематической основе.
Одна просьбочка. Постарайтесь доказать (или показать) попроще, "на пальцах". Без всяких там проективных плоскостей или арбузов "о 2004 корочках". В общем без "бутылок Клейна". Чтобы я смог понять без этой самой бутылки (Клейна, очевидно).
Да, и ещё. Это не загадка и не задачка. Тут нет подвоха. Мне реально нужно в этом разобраться.
Заранее благодарен!
Приветик всем кого знаю, но не помню
Ну и, очевидно, приветик всем кого не знаю!
Возникла у меня одна математическая проблемка. Сам я в математике не силен. Куда бедному крестьянину податься? Понятно, что к тем, кто силен в математике и, может быть, ещё помнит Алана.
Нужно доказать (или показать), что в подмножестве натуральных чисел вида 9, 99, 999, ....., 99999999...9 (или 10^n - 1, где n - натуральное чило) рано или поздно появится член кратный любому простому числу (кроме 2 и 5) и комбинации любых простых чисел вида P1^n * P2^m * ..... PK^k , где P1,P2, .... PK - простые числа, а n, m, ...., k - натуральные.
Звиняйте батьку, если это примитив из серии "5-й класс, 2-я четверть". Да, собственно, я и предупредил, что не обучен математике на систематической основе.
Одна просьбочка. Постарайтесь доказать (или показать) попроще, "на пальцах". Без всяких там проективных плоскостей или арбузов "о 2004 корочках". В общем без "бутылок Клейна". Чтобы я смог понять без этой самой бутылки (Клейна, очевидно).
Да, и ещё. Это не загадка и не задачка. Тут нет подвоха. Мне реально нужно в этом разобраться.
Заранее благодарен!
Не уверен - не обгоняй:)
- Alan Prost
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 794
- Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
- Откуда: Russia, Krasnodar
- Контактная информация:
Вау! Моя любимая задачка Я её всегда задаю школьникам, когда рассказываю о квантовом характере нахождения электрона в силовом поле ядра атома.Chameleon писал(а):Для поддержания темы выкладываю понравившиеся мне задачи из сборник задач Арнольда для детей от 5 до 15 лет:
11. Охотник прошел от своей палатки 10 км на юг, повернул на восток, прошел прямо на восток еще 10 км, убил медведя, повернул на север и, пройдя еще 10 км, оказался у палатки. Какого цвета был медведь и где это все было?
Один ответ, про Северный полюс и белого медведя прозвучал. Но он не полный.
Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
Не уверен - не обгоняй:)
- Shnurov
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 1529
- Зарегистрирован: 31 янв 2003, 16:36
- Откуда: Москва
- Контактная информация:
Вопрос где у охотника "юг", "восток", "север", когда он, например, находится на Южном полюсе?Alan Prost писал(а): Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
ЗЫ. Алан, рад видеть на форуме
А я вот день рожденья не буду справлять.....
-
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 6063
- Зарегистрирован: 22 дек 2002, 13:40
- Откуда: Петрозаводск
- Контактная информация:
Хе-хе, если у охотника очень большая палатка, то где угодноAlan Prost писал(а):Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
Еще решение если ландшафт весьма крут, то тоже можно.
Ну а есть еще действительно верное решение, но открывать не буду дабы не портить процесс другим
Куда не пойди с Южного полюса - пойдешь на север...Shnurov писал(а):Вопрос где у охотника "юг", "восток", "север", когда он, например, находится на Южном полюсе?
CMEPTb, Little Angel of Death
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана
"Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию." - Аксиома Кана
- Alan Prost
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 794
- Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
- Откуда: Russia, Krasnodar
- Контактная информация:
Привет СМЕРТЬ! Рад тебя читать в полном здравии (глагол "видеть" тут не канает).Chameleon писал(а):
Ну а есть еще действительно верное решение, но открывать не буду дабы не портить процесс другим
Что касается охотника и не убитого медведя (как вовремя мы его вывели из условия задачи!) я согласен - пусть другие попарятся .
Но есть и другая задачка, которую я сформулировал постом выше. Так что если знаешь верное решение - не томи, выкладывай
Ежели честно, то я на тебя сильно рассчитываю в этой задаче. Если я её сформулировал тупо, попробую уточнить и пояснить зачем мне это нужно. Может ты её при этом переформулируешь на более понятном и строгом математическом языке, в котором я не силен.
Итак:
1. Подозреваю, что эта теоремка из разряда базовых и элементарных в арифметике и теории чисел. Но она как-то прошла мимо меня и теперь я пытаюсь её "догнать".
2. Пришел я к ней от "сильных и убедительных" утверждений о том, что любая рациональная дробь со знаменателем отличным от вида 2^n * 5^m представляется в виде периодической десятичной дроби и наоборот, если число представляется в виде периодической дес. дроби то оно рационально. Доказательств в тех популярных источниках (Википедия, справочники, какие-то учебники) я не находил, поэтому пришел к выводу, что доказательства элементарны.
3. Не желая показаться тупым (очень плохое качество!) стал по своему, по рабоче-крестьянски, докапываться до доказательства. Тем более, что мне это понадобилось для объяснения тем, кого обучаю. Хотя преподаю химию, но базовые вещи из других естественных наук и математики, не то, чтобы требую, но добиваюсь, чтобы народ понимал. Собственно поэтому мне нужны объяснения - простые, популярные и рассчитанные не на людей с углубленными знаниями математики.
Воот.
Собственно поэтому к своим и обращаюсь. Даже если засмеёте будет не так больно
Попробую обосновать как я дошел до формулировки, что мне нужно, чтобы натуральное число, записанное в десятеричной позиционной системе из последовательности девяток, рано или поздно делилось на любое простое число. Блин, опять непонятно сформулировал . Вторая попытка.
Пусть имеется любое наперед заданное простое число. Существует число вида 999999....999 кратное этому числу. Пусть имеется несколько наперед заданных простых чисел. Найдется число из последовательности девяток кратное произведению этих простых чисел. (если простые числа одни и те же, то, понятно, кратное степени простого числа)
Ход рабоче-крестьянских рассуждений.
Рассмотрим для простоты рациональное число 1/n, где n - натуральное. (к множеству всех рациональных придем тупым умножением на любое целое m). Если n вида 2^l * 5^m, то обратное ему число отображается в виде конечной десятичной дроби, это даже химику понятно (в смысле, даже химик может это доказать). Пусть n > 2, простое и не равное 5 и отображается в виде периодической дроби (больше не буду уточнять, что десятичной, пока мы беседуем только о них, о десятичных) с трехзначным периодом. Как там у вас у математиков это кличут? Длина или ширина периода? Ну не суть. Тогда мы можем рассматривать такую запись как бесконечный сходящийся ряд, да не просто ряд, а геометрическую прогрессию со знаменателем q = 10^(-3):
0,abcabc(abc) = abc*10^(-3) + abc*10^(-3)*10^(-3) + ... + abc*10^(-3k)*10^(-3) + .... = abc*10^(-3)(1+q+q^2+....+q^k+....)
(1+q+q^2+....+q^k+....) = 1/(1-q)
при q = 10^(-3) 1-q = (10^3 - 1)/10^3
при q = 10^(-h) 1-q = (10^h - 1)/10^h -> h - высота (ни нашим ни вашим, я решил назвать это высотой периода) периода, количество знаков в периоде.
10^h - 1 - это последовательность девяток, это понятно.
При умножении n на обратное число мы получим единицу, а это означает, что abc...fg (всего h знаков) умноженное на n с точностью до копейки равно 10^h - 1 или "аш девяток". Или "аш девяток" кратны n.
Утверждение, что рациональное число записывается в виде периодической десятичной дроби (конечной высоты h) эквивалентно утверждению, что всегда найдется число в виде последовательности девяток, кратное n.
Разведка боем:
9 кратно 3 и 3*3. Это означает, что для любого натурального n вида 2^k*5^l*3 или 2^k*5^l*3^2 запись его обратного числа в виде десятичной дроби будет иметь период, состоящий из одной цифры (высота периода в определении этого поста равна 1). множители 2 и 5 на высоту периода не влияют и определяют только предпериод (не знаю как правильно эта хренька называется у математиков)
Проверяем. n=6 = 2*3 ;
От двоек и пятерок в знаменателе я избавляюсь так. Умножаю на 10^max(k,l) число представленное в виде дроби. У нас k=1, l=0, значит умножаю просто на 10.
10/6 = 5/3 = 1,(6)
а теперь делю на 10, только делю уже представленное в виде десятичной дроби, то есть просто переношу запятую. Тогда
1/6 = 0,1(6). То есть в ходе разведки мы установили, что двойки и пятерки на высоту периода не влияют, только на предпериод.
99 кратно 3^2*11
Вау, нашли ещё одно простое число, кроме тройки. Это что? Числа обратные 11, 33, 99, а также 22, 55, 110 и т.п. имеют высоту периода равную 2?
1/11 = 0,(09)
1/99 = 0,(01)
1/55 = 0,0(18)
999 = 3^2*111 = 3^3*37
11 потеряли, зато нашли ещё одну тройку и 37.
1/37 = 0,(027)
1/27 = 0,(037) красивая парочка, не правда ли?
Хотя "симметрия = красота", - дело вкуса
Блин, ну когда же доберемся до семёрки?
ага, вот -> 999 999 = 999*1001 = 3^3*37*7*11*13
Ну теперь понятно, почему 1/7 имеет 6 знаков в периоде, раньше в множестве 9,99,999,9999,99999 семерка в качестве множителя не попадалась.
Так, конечно, можно поразведовать достаточно далеко и найти кучу простых делителей, которые не попадались раньше. Но меня интересует общее доказательство. Что рано или поздно я обнаружу наверняка простой делитель а, но в последовательности девяток, в которой есть множитель а может не оказаться простого множителя b. Но мне доподлинно известно, что число, обратное a*b, представимо в виде десятичной периодической дроби. Не беда, значит я потом найду последовательность девяток, кратную a*b. И т. д.
Мне понятно, что в последовательности натуральных чисел (обычная арифметическая прогрессия с разностью = 1) мы обязательно найдем число кратное любому наперед заданному. Если память не спит с кем то другим (в смысле не изменяет), вариант формулировки "основной теоремы арифметики" так и гласит, что "среди n последовательных натуральных чисел найдется ровно одно кратное n". Я даже, наверное, смогу это доказать. Не пробовал, но думаю смогу. Во всяком случае вижу логику и план доказательства. А в случае последовательности 9999...999 - торможу.
Рассматривал похожие последовательности, которые можно получить из множества девяток, а именно:
1, 11, 111, 1111, ......, 111111...111
1, 11, 101, 1001, 10001,......,100000....001 - когда число девяток четно.
Даже думаю, что это более базовые последовательности. Девятка это так, частный случай для десятеричной системы. Если рассматривать более общий случай для любой позиционной системы, то с этими последовательностями и нужно работать. Но.... блин. И тут пока ничего не увидел. Проблески возникают, начинаю проверять и убеждаюсь: "А нет, почудилось.."
Даже подозреваю, что в двоичной системе это доказать будет легче (может даже можно свести к "основной теореме арифметики"). Но увы. Тут я вообще утону. Если в десятеричной могу хотя бы держаться на воде, то в других системах не "налетал даже 1 часа".
Вот примерно так
Не уверен - не обгоняй:)
-
-
- Silver Lightning по HoMM5
- Сообщения: 218
- Зарегистрирован: 29 июн 2008, 09:40
- Откуда: Лангепас
- Контактная информация:
Точка находится примерно на 11,592 км. (точнее расстояние укажут более маститые математики, заходящие на данный форум) к северу от южного полюса. То есть, из палатки идем на юг 10км., после чего, идя на восток, совершаем мини кругосветное путешествие и оказываемся на той же самой точке, из которой поворачивали на восток, после чего идем снова 10км. на север в палатку.Alan Prost писал(а):Уберем из условия задачи медведя, оставив всё остальное as is.
Существует ли на Земле ещё такая точка (точки), где бы после 3-х упомянутых перемещений охотник оказался бы у своей платки?
P.S. Но все ответы на эту задачу верны при допущении, что магнитные и географические магнитные полюса совпадают. В противном случае, ответы могут быть иными, ведь не известно чем пользовался охотник: компасом или ориентировался по звездам .
Особенно расчет может быть затруднен в ситуации с южным полюсом. эллипсоид (геоид) все таки .
- Alan Prost
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 794
- Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
- Откуда: Russia, Krasnodar
- Контактная информация:
Всё так, всё верно. Но..... Это не полное решение (я про "примерно 11,593 км). И даже не потому, что это не точка, а точки. Пусть всё семейство этих точек и будет твоим решением. Но вот вопрос - а есть ли ещё другие точки на этой грешной Земле, отвечающие тем же условиям?Spartak2007 писал(а):
Точка находится примерно на 11,592 км. (точнее расстояние укажут более маститые математики, заходящие на данный форум) к северу от южного полюса. То есть, из палатки идем на юг 10км., после чего, идя на восток, совершаем мини кругосветное путешествие и оказываемся на той же самой точке, из которой поворачивали на восток, после чего идем снова 10км. на север в палатку.
P.S. Но все ответы на эту задачу верны при допущении, что магнитные и географические магнитные полюса совпадают. В противном случае, ответы могут быть иными, ведь не известно чем пользовался охотник: компасом или ориентировался по звездам .
Особенно расчет может быть затруднен в ситуации с южным полюсом. эллипсоид (геоид) все таки .
Насчет расхождения полюсов и несферичности формы ты прав. А вот за "примерно 11,593 км" тебе достанется от Хамелеона . Он уже объяснял в этой ветке форума (каких-то примерно 247,5 постов назад) правила округления. Точность результата не должна быть выше точности исходных данных. У нас это 10 км, т.е. 2 значащие цифры или, что то же самое, 10 +/- 0,5 км.
Кстати, данная задача интересна ещё и другим. В изначальной её редакции, когда медведь был на месте. Оказывается, что исходных данных достаточно, чтобы выяснить национальность охотника .
Так кто же он по национальности?
Не уверен - не обгоняй:)
-
-
- Silver Lightning по HoMM5
- Сообщения: 218
- Зарегистрирован: 29 июн 2008, 09:40
- Откуда: Лангепас
- Контактная информация:
В теории таких множеств точек (образующих параллель) бесконечно много и они находятся на расстоянии от 10км. до 11,593 км. от южного полюса. Все сводится к топтанию вокруг южного полюса, то есть, повернув на восток и пройдя 10км. можно сделать не одно кругосветное путешествие, а два, три и т.д.Alan Prost писал(а): Но вот вопрос - а есть ли ещё другие точки на этой грешной Земле, отвечающие тем же условиям?
В реальности все упирается в размер обуви охотника.
А вот с национальностью не понял. На этот вопрос действительно есть единственно верный ответ, или ответ носит предположительный характер?Alan Prost писал(а): Кстати, данная задача интересна ещё и другим. В изначальной её редакции, когда медведь был на месте. Оказывается, что исходных данных достаточно, чтобы выяснить национальность охотника .
Так кто же он по национальности?
- Alan Prost
-
Почетный член КС — Honored Member- Сообщения: 794
- Зарегистрирован: 16 сен 2002, 18:43
- Откуда: Russia, Krasnodar
- Контактная информация:
На этот вопрос есть единственно верный ответ Правда это из гуманитарной области. А у них, у гуманитариев, как? Надо процитировать источник, где об этом говорилось ранее. А лучше - несколько источников разных авторов. И т.п.Spartak2007 писал(а): А вот с национальностью не понял. На этот вопрос действительно есть единственно верный ответ, или ответ носит предположительный характер?
Но я так всё решение раскрою. Так не честно.
Вот. А я за Спартак болею с 1974 года
А за решение задачки - респект!
Не уверен - не обгоняй:)