Chameleon писал(а):
Ну а есть еще действительно верное решение, но открывать не буду дабы не портить процесс другим
Привет СМЕРТЬ!
Рад тебя читать в полном здравии (глагол "видеть" тут не канает).
Что касается охотника и не убитого медведя (как вовремя мы его вывели из условия задачи!) я согласен - пусть другие попарятся
.
Но есть и другая задачка, которую я сформулировал постом выше. Так что если знаешь верное решение - не томи, выкладывай
Ежели честно, то я на тебя сильно рассчитываю в этой задаче. Если я её сформулировал тупо, попробую уточнить и пояснить зачем мне это нужно. Может ты её при этом переформулируешь на более понятном и строгом математическом языке, в котором я не силен.
Итак:
1. Подозреваю, что эта теоремка из разряда базовых и элементарных в арифметике и теории чисел. Но она как-то прошла мимо меня и теперь я пытаюсь её "догнать".
2. Пришел я к ней от "сильных и убедительных" утверждений о том, что любая рациональная дробь со знаменателем отличным от вида 2^n * 5^m представляется в виде периодической десятичной дроби и наоборот, если число представляется в виде периодической дес. дроби то оно рационально. Доказательств в тех популярных источниках (Википедия, справочники, какие-то учебники) я не находил, поэтому пришел к выводу, что доказательства элементарны.
3. Не желая показаться тупым (очень плохое качество!) стал по своему, по рабоче-крестьянски, докапываться до доказательства. Тем более, что мне это понадобилось для объяснения тем, кого обучаю. Хотя преподаю химию, но базовые вещи из других естественных наук и математики, не то, чтобы требую, но добиваюсь, чтобы народ понимал. Собственно поэтому мне нужны объяснения - простые, популярные и рассчитанные не на людей с углубленными знаниями математики.
Воот.
Собственно поэтому к своим и обращаюсь. Даже если засмеёте будет не так больно
Попробую обосновать как я дошел до формулировки, что мне нужно, чтобы натуральное число, записанное в десятеричной позиционной системе из последовательности девяток, рано или поздно делилось на любое простое число. Блин, опять непонятно сформулировал
. Вторая попытка.
Пусть имеется любое наперед заданное простое число. Существует число вида 999999....999 кратное этому числу. Пусть имеется несколько наперед заданных простых чисел. Найдется число из последовательности девяток кратное произведению этих простых чисел. (если простые числа одни и те же, то, понятно, кратное степени простого числа)
Ход рабоче-крестьянских рассуждений.
Рассмотрим для простоты рациональное число 1/n, где n - натуральное. (к множеству всех рациональных придем тупым умножением на любое целое m). Если n вида 2^l * 5^m, то обратное ему число отображается в виде конечной десятичной дроби, это даже химику понятно (в смысле, даже химик может это доказать). Пусть n > 2, простое и не равное 5 и отображается в виде периодической дроби (больше не буду уточнять, что десятичной, пока мы беседуем только о них, о десятичных) с трехзначным периодом. Как там у вас у математиков это кличут? Длина или ширина периода? Ну не суть. Тогда мы можем рассматривать такую запись как бесконечный сходящийся ряд, да не просто ряд, а геометрическую прогрессию со знаменателем q = 10^(-3):
0,abcabc(abc) = abc*10^(-3) + abc*10^(-3)*10^(-3) + ... + abc*10^(-3k)*10^(-3) + .... = abc*10^(-3)(1+q+q^2+....+q^k+....)
(1+q+q^2+....+q^k+....) = 1/(1-q)
при q = 10^(-3) 1-q = (10^3 - 1)/10^3
при q = 10^(-h) 1-q = (10^h - 1)/10^h -> h - высота
(ни нашим ни вашим, я решил назвать это высотой периода) периода, количество знаков в периоде.
10^h - 1 - это последовательность девяток, это понятно.
При умножении n на обратное число мы получим единицу, а это означает, что abc...fg (всего h знаков) умноженное на n с точностью до копейки равно 10^h - 1 или "аш девяток". Или "аш девяток" кратны n.
Утверждение, что рациональное число записывается в виде периодической десятичной дроби (конечной высоты h) эквивалентно утверждению, что всегда найдется число в виде последовательности девяток, кратное n.
Разведка боем:
9 кратно 3 и 3*3. Это означает, что для любого натурального n вида 2^k*5^l*3 или 2^k*5^l*3^2 запись его обратного числа в виде десятичной дроби будет иметь период, состоящий из одной цифры (высота периода в определении этого поста равна 1). множители 2 и 5 на высоту периода не влияют и определяют только предпериод (не знаю как правильно эта хренька называется у математиков)
Проверяем. n=6 = 2*3 ;
От двоек и пятерок в знаменателе я избавляюсь так. Умножаю на 10^max(k,l) число представленное в виде дроби. У нас k=1, l=0, значит умножаю просто на 10.
10/6 = 5/3 = 1,(6)
а теперь делю на 10, только делю уже представленное в виде десятичной дроби, то есть просто переношу запятую. Тогда
1/6 = 0,1(6). То есть в ходе разведки мы установили, что двойки и пятерки на высоту периода не влияют, только на предпериод.
99 кратно 3^2*11
Вау, нашли ещё одно простое число, кроме тройки. Это что? Числа обратные 11, 33, 99, а также 22, 55, 110 и т.п. имеют высоту периода равную 2?
1/11 = 0,(09)
1/99 = 0,(01)
1/55 = 0,0(18)
999 = 3^2*111 = 3^3*37
11 потеряли, зато нашли ещё одну тройку и 37.
1/37 = 0,(027)
1/27 = 0,(037) красивая парочка, не правда ли?
Хотя "симметрия = красота", - дело вкуса
Блин, ну когда же доберемся до семёрки?
ага, вот -> 999 999 = 999*1001 = 3^3*37*7*11*13
Ну теперь понятно, почему 1/7 имеет 6 знаков в периоде, раньше в множестве 9,99,999,9999,99999 семерка в качестве множителя не попадалась.
Так, конечно, можно поразведовать достаточно далеко и найти кучу простых делителей, которые не попадались раньше. Но меня интересует общее доказательство. Что рано или поздно я обнаружу наверняка простой делитель а, но в последовательности девяток, в которой есть множитель а может не оказаться простого множителя b. Но мне доподлинно известно, что число, обратное a*b, представимо в виде десятичной периодической дроби. Не беда, значит я потом найду последовательность девяток, кратную a*b. И т. д.
Мне понятно, что в последовательности натуральных чисел (обычная арифметическая прогрессия с разностью = 1) мы обязательно найдем число кратное любому наперед заданному. Если память не спит с кем то другим (в смысле не изменяет), вариант формулировки "основной теоремы арифметики" так и гласит, что "среди n последовательных натуральных чисел найдется ровно одно кратное n". Я даже, наверное, смогу это доказать. Не пробовал, но думаю смогу. Во всяком случае вижу логику и план доказательства. А в случае последовательности 9999...999 - торможу.
Рассматривал похожие последовательности, которые можно получить из множества девяток, а именно:
1, 11, 111, 1111, ......, 111111...111
1, 11, 101, 1001, 10001,......,100000....001 - когда число девяток четно.
Даже думаю, что это более базовые последовательности. Девятка это так, частный случай для десятеричной системы. Если рассматривать более общий случай для любой позиционной системы, то с этими последовательностями и нужно работать. Но.... блин. И тут пока ничего не увидел. Проблески возникают, начинаю проверять и убеждаюсь: "А нет, почудилось.."
](./images/smilies/eusa_wall.gif "Brick wall")
Даже подозреваю, что в двоичной системе это доказать будет легче (может даже можно свести к "основной теореме арифметики"). Но увы. Тут я вообще утону. Если в десятеричной могу хотя бы держаться на воде, то в других системах не "налетал даже 1 часа".
Вот примерно так
Я её всегда задаю школьникам, когда рассказываю о квантовом характере нахождения электрона в силовом поле ядра атома.
